Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen

Betrachtet wird eine parameterabhängige Differentialgleichung

mit , wobei und offene Mengen darstellen und f als r-mal stetig differenzierbar vorausgesetzt wird. Die Gleichung (17.61) läßt sich als parameterfreie Differentialgleichung im Phasenraum M x V interpretieren. Aus dem Satz von PICARD - LINDELÖF und dem Satz über die
Differenzierbarkeit nach den Anfangswerten folgt, daß (17.61) für beliebige und eine lokal eindeutige Lösung mit Anfang p zur Zeit t=0 besitzt, die bezüglich p und dann r-mal stetig differenzierbar ist. Alle Lösungen mögen auf ganz existieren.

Es wird weiter vorausgesetzt, daß System (17.61) bei die Ruhelage x = 0 besitzt, d.h., es gelte . Es seien die Eigenwerte von mit Re. Außerdem habe D_xf(0,0) genau m Eigenwerte mit negativem und k=n-s-m Eigenwerte mit positivem Realteil.

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen (Satz von SHOSHITAISHVILI) (s. [17.11]) ist die Differentialgleichung (17.61) für mit hinreichend kleiner Norm in einer Umgebung von 0 topologisch äquivalent zu einem System

mit und , wobei A eine Matrix vom Typ (s,s) ist, die als Eigenwerte hat, und g eine C^r-Funktion mit g(0,0) = 0 sowie D_xg(0,0) = 0 darstellt.

Aus der Darstellung (17.62) folgt, daß Bifurkationen von (17.61) in einer Umgebung von 0 ausschließlich durch die Differentialgleichung

beschrieben werden. Die Gleichung (17.63) stellt die auf die lokale Zentrumsmannigfaltigkeit
von (17.62) reduzierte Differentialgleichung dar.

Die reduzierte Differentialgleichung (17.63) kann oft durch eine nichtlineare parameterabhängige Koordinatentransformation, die die topologische Struktur ihres Phasenporträts nahe der untersuchten Ruhelage nicht ändert, auf eine relativ einfache Form (z.B. mit Polynomen auf der rechten Seite) gebracht werden, die Normalform heißt. Eine Normalform läßt sich nicht eindeutig bestimmen; in der Regel wird eine Bifurkation durch unterschiedliche Normalformen äquivalent beschrieben.