Vom Torus zum Chaos

Hopf-Landau-Modell der Turbulenz

Die Frage des Übergangs von einem regulären laminaren Verhalten zu einem irregulären turbulenten Verhalten ist besonders für Systeme mit verteilten Parametern, die z.B. durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, von Interesse. Aus dieser Sicht läßt sich Chaos als zeitlich irreguläres, aber räumlich geordnetes Verhalten interpretieren. Turbulenz dagegen ist ein Systemverhalten, das sowohl zeitlich als auch räumlich irregulär ist. Das HOPF-LANDAU-Modell erklärt die Entstehung der Turbulenz über eine unendliche Kaskade von HOPF-Bifurkationen: Bei entsteht aus einer Ruhelage ein Grenzzyklus, der bei instabil wird und zu einem Torus T² führt. Bei der k-ten Bifurkation entsteht ein k-dimensionaler Torus, der durch nicht geschlossene Orbits aufgewickelt wird. Das HOPF-LANDAU-Modell führt i. allg. nicht zu einem Attraktor, der durch sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen und Durchmischung gekennzeichnet ist.

Ruelle-Takens-Newhouse-Szenario

Im System (17.61) sei und . Bei Änderung des Parameters sei die Bifurkationssequenz Ruhelage Periodischer Orbit Torus Torus T³ über drei aufeinander folgende HOPF-Bifurkationen realisiert.
Der auf T³ gegebene quasiperiodische Fluß sei strukturell instabil. Dann können schon bestimmte kleine Störungen von (17.61) zum Zerfall von T³ und zur Bildung eines seltsamen Attraktors führen, der strukturell stabil ist.

Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus (T-Quadrat)

Gegeben sei das hinreichend glatte System (17.61) bei und . Beim Parameterwert habe System (17.61) einen anziehenden glatten Torus der aufgespannt wird durch einen stabilen periodischen Orbit , einen sattelartigen periodischen Orbit und dessen instabile Mannigfaltigkeit (Resonanz-Torus). Die invarianten Mannigfaltigkeiten der Ruhelagen der POINCARÉ-Abbildung bezüglich einer Fläche, die transversal zur Längsrichtung den Torus schneidet, sind in der folgenden Abbildung zu sehen.

Der Multiplikator von , der dem Einheitskreis am nächsten liegt, sei reell und einfach. Es sei weiter eine beliebige stetige Kurve im Parameterraum, für die gilt, und für die das System (17.61) bei keinen invarianten Resonanz-Torus besitzt. Dann gelten folgende Aussagen:

1. Es existiert ein Wert , bei dem seine Glattheit verliert . Dabei wird entweder der Multiplikator komplex, oder die instabile Mannigfaltigkeit verliert ihre Glattheit nahe .
2. Es existiert ein weiterer Parameterwert , so daß das System (17.61) für keinen resonanten Torus besitzt. Der Torus zerfällt dabei nach einem der folgenden Szenarien:

   )

   Der periodische Orbit verliert seine Stabilität bei . Es kommt zu einer lokalen Bifurkation wie der Periodenverdopplung oder der Abspaltung eines Torus.

   )

   Die periodischen Orbits und fallen bei zusammen (Sattelknoten-Bifurkation) und heben sich dabei auf.

   )

   Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von schneiden sich bei nicht transversal (s. Bifurkationsdiagramm in der folgenden Abbildung).
   Die Punkte auf der schnabelförmigen Kurve S₁ entsprechen dem Verschmelzen von und (Sattelknoten-Bifurkation). Die Schnabelspitze C₁ liegt auf einer Kurve S₀, die der Abspaltung eines Torus entspricht.

Auf der Kurve S₂ liegen die Parameterpunkte, bei denen ein Glattheitsverlust eintritt, während die Punkte auf S₃ die Auflösung eines T²-Torus charakterisieren. Auf S₄ liegen die Parameterpunkte, für die sich stabile und instabile Mannigfaltigkeiten von nicht transversal schneiden. Sei P₀ ein beliebiger Punkt in der Schnabelspitze, so daß bei diesem Parameterwert ein Resonanz-Torus T² vorliegt. Der Übergang von P₀ nach P₁ entspricht dem Fall des Satzes. Wird dabei auf S₂ der Multiplikator zu , so findet eine Periodenverdopplung statt. Eine sich anschließende Kaskade von weiteren Periodenverdopplungen kann zum Entstehen eines seltsamen Attraktors führen. Trifft beim Überqueren von S₂ ein Paar konjugiert komplexer Multiplikatoren auf den Einheitskreis, dann kann es zur Abspaltung eines weiteren Torus kommen, für den der Satz von AFRAIMOVICH und SHILNIKOV erneut anwendbar ist.

Der Übergang von P₀ nach P₂ repräsentiert den Fall des Satzes: Der Torus verliert die Glattheit, und beim Überqueren von S₁ findet eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Der Torus zerfällt, und ein Übergang zum Chaos über Intermittenz kann stattfinden.

Der Übergang von P₀ nach P₃ schließlich entspricht Fall : Nach dem Verlust der Glattheit bildet sich beim Überqueren von S₄ eine nicht robuste homokline Kurve. Der stabile Zyklus bleibt, und es entsteht eine zunächst nicht anziehende hyperbolische Menge. Wenn verschwindet, kann aus dieser Menge ein seltsamer Attraktor entstehen.