Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl

Äquivalente und geliftete Abbildung

Beim Glattheitsverlust und Zerfall eines Torus spielen die Eigenschaften invarianter Kurven der POINCARÉ-Abbildung eine wichtige Rolle. Stellt man die POINCAR´E-Abbildung in Polarkoordinaten dar, so erhält man unter gewissen Voraussetzungen losgekoppelte Abbildungen der Winkelvariablen als aussagefähige Hilfsabbildungen auf dem Einheitskreis. Diese sind im Falle glatter invarianter Kurven (linke Abbildung) umkehrbar und im Falle nichtglatter Kurven (rechte Abbildung) nicht umkehrbar.

Eine Abbildung mit , die das dynamische System

erzeugt, heißt äquivariant. Jeder solcher Abbildungen läßt sich auch eine Abbildung auf dem Einheitskreis mit zuordnen. Dabei ist , wenn für die Äquivalenzklasse die Beziehung gilt. Man bezeichnet F als eine von f geliftete Abbildung. Offenbar ist diese Zuordnung nicht eindeutig.
Im Gegensatz zur obigen Formel (17.85) ist

x_t+1 =f(x_t) (17.86)

ein dynamisches System auf .

Beispiel

Sind und K zwei Parameter, so sei die Abbildung für alle durch definiert. Das zugeordnete dynamische System

läßt sich durch die Transformation auf das System

mit überführen. Mit liegt eine äquivariante Abbildung vor, die die Standardform der Kreisabbildung erzeugt.

Rotationszahl

Der Orbit von (17.85) ist genau dann ein q-periodischer Orbit von (17.86) in , wenn er ein p/q-Zyklus von (17.85) ist, d.h., wenn eine ganze Zahl p existiert, so daß gilt. Die Abbildung heißt orientierungstreu, wenn es eine zugehörige geliftete Abbildung F gibt, die monoton wachsend ist. Ist F aus (17.85) ein monoton wachsender Homöomorphismus, so existiert für jedes der Grenzwert , und dieser Grenzwert hängt nicht von x ab. Es kann deshalb der Ausdruck definiert werden. Ist ein Homöomorphismus und sind F sowie zwei von f geliftete Abbildungen, so gilt , wobei k eine ganze Zahl ist. Aufgrund der letzten Eigenschaft läßt sich die Rotationszahl (oder Windungszahl) eines orientierungstreuen Homöomorphismus als definieren, wobei F eine beliebige von f geliftete Abbildung ist.

Ist in (17.86) ein orientierungstreuer Homöomorphismus, so hat die Rotationszahl folgende Eigenschaften (s. [17.11]):

1. Hat (17.86) einen q-periodischen Orbit, so existiert eine ganze Zahl , so daß ist.
2. Ist , so hat (17.86) eine Ruhelage.
3. Ist , wobei , ganzzahlig und q eine natürliche Zahl ist (p und q teilerfremd), so hat (17.86) einen q-periodischen Orbit.
4. ist genau dann irrational, wenn (17.86) weder einen periodischen Orbit noch eine Ruhelage besitzt.

Satz von Denjoy: Ist ein orientierungstreuer C²-Diffeomorphismus und ist die Rotationszahl irrational, so ist f topologisch konjugiert zu einer reinen Drehung, deren geliftete Abbildung lautet.