Differentialgleichungen auf dem Torus (T-Quadrat)

Sei

eine ebene Differentialgleichung, in der f₁ und f₂ differenzierbare und 1-periodische Funktionen in beiden Argumenten sind. In diesem Fall definiert (17.89) einen Fluß, der auch als Fluß auf dem Torus T² = S¹ x S¹ bezüglich und interpretiert werden kann. Ist für alle , so besitzt (17.89) keine Ruhelage und ist äquivalent zur skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung

Mit den Bezeichnungen und läßt sich (17.90) als nichtautonome Differentialgleichung

schreiben, deren rechte Seite 1-periodisch bezüglich t und x ist. Es sei die Lösung von (17.91) mit Anfang x₀ zur Zeit . Damit kann man (17.91) eine Abbildung zuordnen, die als geliftete Abbildung einer Abbildung gelten kann.

Beispiel

Seien Konstanten und eine Differentialgleichung auf dem Torus, die für der skalaren Differentialgleichung äquivalent ist. Damit ist und .