Standardform einer Kreisabbildung

Standardform

Die Abbildung F aus (17.88) ist für ein orientierungstreuer Diffeomorphismus, da ist. Bei K = 1 ist F kein Diffeomorphismus mehr, aber noch ein Homöomorphismus, während für K > 1 die Abbildung nicht mehr invertierbar und damit auch kein Homöomorphismus mehr ist. Im Parameterbereich ist für die Rotationszahl definiert. Sei fixiert. Dann hat auf [0,1] folgende Eigenschaften:

1. Die Funktion ist nicht fallend, stetig, aber nicht differenzierbar.
2. Für jede rationale Zahl existiert ein Intervall , dessen Inneres nicht leer ist und für das für alle gilt.
3. Für jede irrationale Zahl gibt es genau ein mit .

Teufelstreppe und Arnold-Zunge

Für jedes ist also eine CANTOR-Funktion. Der Graph von , der auf der rechten Abbildung gezeigt ist, heißt Teufelstreppe (devil's staircase).

Das Bifurkationsdiagramm von (17.88) ist auf der linken Abbildung zu sehen. Von jeder rationalen Zahl auf der -Achse geht ein schnabelförmiges Gebiet (ARNOLD-Zunge) mit nicht leerem Inneren aus, in dem die Rotationszahl konstant und gleich der rationalen Zahl ist. Ursache für das Entstehen der Zungen ist eine Synchronisation der Frequenzen (Frequenzkopplung (frequency locking)).

a)

Für überlappen sich diese Gebiete nicht. Von jeder irrationalen Zahl auf der -Achse geht eine stetige Kurve aus, die immer die Gerade K = 1 erreicht. In der ersten ARNOLD-Zunge mit hat das dynamische System (17.88) Ruhelagen. Ist K fixiert und wächst an, so verschmelzen auf dem Rand der ersten ARNOLD-Zunge zwei dieser Ruhelagen und heben sich dabei gleichzeitig auf. Im Ergebnis einer solchen Sattelknoten-Bifurkation entsteht ein auf S¹ dichter Orbit. Ähnliche Erscheinungen lassen sich beim Verlassen der anderen ARNOLD-Zungen beobachten.

b)

Für K > 1 ist die Theorie der Rotationszahlen nicht mehr anwendbar. Die Dynamik wird komplizierter, und es findet ein Übergang zum Chaos statt. Dabei treten, ähnlich wie im Falle der FEIGENBAUM-Konstante, weitere Konstanten auf, die für bestimmte Klassen von Abbildungen, zu denen auch die Standardkreisabbildung gehört, gleich sind. Eine davon wird im folgenden beschrieben.

Goldenes Mittel, Fibonacci-Zahlen

Die irrationale Zahl heißt Goldenes Mittel und besitzt die einfache Kettenbruchdarstellung

Durch sukzessives Abschneiden des Kettenbruches erhält man eine Folge {r_n} von rationalen Zahlen, die gegen konvergiert. Die Zahlen r_n lassen sich in der Form darstellen, wobei F_n FIBONACCI-Zahlen sind, die sich durch die Iterationsvorschrift

mit den Startwerten F₀ = 0 und F₁ = 1 bestimmen lassen. Sei nun der Parameterwert von (17.88), für den ist und sei jeweils der am nächsten liegende Wert, für den ist. Eine numerische Analyse ergibt den Grenzwert .