Homokline und heterokline Orbits

Es seien und zwei hyperbolische Ruhelagen oder periodische Orbits von (17.1). Die Separatrixflächen und können sich schneiden. Der Schnitt besteht dann aus ganzen Orbits. Für zwei Ruhelagen oder periodische Orbits heißt jeder Orbit heteroklin, falls ist (s. linke Abbildung), und homoklin, falls . Homokline Orbits von Ruhelagen heißen auch Separatrixschleifen (s. rechte Abbildung).

Beispiel

Das LORENZ-System (17.2) wird bei festen Parametern und veränderlichem r betrachtet. Die Ruhelage (0,0,0) von (17.2) ist für ein Sattel, der durch eine zweidimensionale stabile Mannigfaltigkeit W^s und eine eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit W^u charakterisiert wird. Bei bilden sich in (0,0,0) zwei Separatrixschleifen, d.h., die beiden Äste der instabilen Mannigfaltigkeit kehren für über die stabile Mannigfaltigkeit in den Ursprung zurück (s. [17.4], [17.22]).