Satz von Hadamard und Perron für zeitdiskrete Systeme

Der Satz von HADAMARD und PERRON für zeitdiskrete Systeme in beschreibt Eigenschaften der Separatrixflächen:
Ist x₀ eine hyperbolische Ruhelage von (17.3) vom Typ , so sind W^s(x₀) und W^u(x₀) verallgemeinerte C^r-glatte Flächen der Dimension m bzw. , die lokal wie C^r-glatte Elementarflächen aussehen. Die Orbits von (17.3), die für oder nicht gegen x₀ streben, verlassen hinreichend kleine Umgebungen von x₀ für oder . Die Fläche W^s(x₀) bzw. W^u(x₀) tangiert in x₀ den stabilen Untervektorraum für von bzw. den instabilen Untervektorraum für .

Beispiel

Betrachtung des folgenden zeitdiskreten dynamischen Systems

aus der Familie der HÉNON-Abbildungen. Die beiden hyperbolischen Ruhelagen von (17.23) sind und . Es sollen lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeiten von P₁ bestimmt werden. Mit der Variablentransformation geht (17.23) in das System mit der Ruhelage (0,0) über. Den Eigenwerten der JACOBI-Matrix Df((0,0)) entsprechen die Eigenvektoren bzw. , so daß und ist. In dem Ansatz wird als Potenzreihe gesucht. Aus folgt . Dies führt zu einer Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten der Zerlegung von , wobei k < 0 ist. Der prinzipielle Verlauf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit ist in der folgenden Abbildung zu sehen (s. auch [17.5]).