Hausdorff-Dimension

Die Motivation für diese Dimension ergibt sich aus der Volumenberechnung durch das LEBESGUE-Maß. Wird eine beschränkte Menge mit einer Überdeckung aus einer endlichen Anzahl Kugeln B_ri mit Radius versehen, so daß also gilt, erhält man für A das Rohvolumen  . Bildet man nun über alle endlichen Überdeckungen von A durch Kugeln mit Radius die Größe und läßt gegen Null gehen, so ergibt sich das äußere LEBESGUE-Maß von , das für meßbare Mengen mit dem Volumen vol(A) übereinstimmt.

Es seien M der EUKLIDische Raum oder, allgemeiner, ein separabler metrischer Raum mit Metrik und eine Teilmenge. Für beliebige Parameter und wird die Größe

gebildet, wobei beliebige Teilmengen mit Durchmesser diam sind. Das äußere HAUSDORFF-Maß zur Dimension d von A wird durch

definiert und kann endlich oder unendlich sein. Die HAUSDORFF-Dimension d_H(A) der Menge A ist dann der (einzige) kritische Wert des HAUSDORFF-Maßes:

Bemerkung: Die Größen können auch mit Hilfe von Überdeckungen aus Kugeln vom Radius oder, im Falle des , aus Würfeln der Kantenlänge gebildet werden.

Wichtige Eigenschaften der Hausdorff-Dimension:

(HD1)

.

(HD2)

Ist , so gilt .

(HD3)

Aus folgt .

(HD4)

Ist , so gilt .

(HD5)

Ist A endlich oder abzählbar, so ist .

(HD6)

Ist LIPSCHITZ-stetig (d.h. existiert eine Konstante L > 0 mit , so gilt . Existiert die inverse Abbildung und ist diese ebenfalls LIPSCHITZ-stetig, so ist sogar .

Beispiel

Für die Menge aller rationalen Zahlen gilt wegen (HD5) . Für die CANTOR-Menge C ist