Kapazitätsdimension

Sei A im weiteren eine relativ kompakte Menge des metrischen Raumes und sei die minimale Anzahl von Mengen vom Durchmesser , die nötig ist, um A zu überdecken. Die Größe

heißt obere Kapazitätsdimension oder fraktale Dimension, die Größe

heißt untere Kapazitätsdimension von . Gilt , so heißt d_C(A) Kapazitätsdimension von .

Für eine beschränkte Menge kann in den obigen Definitionen die Zahl auch folgendermaßen definiert werden: Der wird mit einem Gitter aus n-dimensionalen Würfeln der Seitenlänge überdeckt. Dann kann für die Anzahl der Würfel des Gitters, die A schneiden, genommen werden.
Wichtige Eigenschaften der Kapazitätsdimension:

(KD1)

Es gilt immer .

(KD2)

Für m-dimensionale glatte und beschränkte Flächen ist .

(KD3)

Mit der Abschließung von A gilt , während oft ist.

(KD4)

Ist relativ kompakt, so gilt für die Kapazitätsdimension im allgemeinen nicht .

Beispiel

Sei . Dann gilt d_H(A) = 0 und .
Ist A die Menge aller rationalen Punkte in [0,1], so gilt wegen (KD2) und (KD3) . Andererseits ist d_H(A)=0.