Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé

Sei ein glattes dynamisches System auf und eine kompakte invariante Menge. Ein beliebiges werde fixiert und gesetzt.

1. Satz von Douady und Oesterlé:

Seien die Singulärwerte von und sei eine Zahl in der Darstellung d = d₀ + s mit und .
Ist , so gilt .

2. Spezielle Version für Differentialgleichungen:

Seien der Fluß von (17.1), eine kompakte invariante Menge und seien die Eigenwerte der symmetrisierten JACOBI-Matrix in einem beliebigen Punkt . Ist eine Zahl in der Form d=d₀+s mit sowie und gilt
, so ist .
Die Größe

wobei beliebig ist und [d] den ganzzahligen Anteil von d bedeutet, heißt DOUADY-OESTERL´E-Dimension im Punkt . Unter den Voraussetzungen des oben formulierten Satzes von DOUADY-OESTERL´E für Differentialgleichungen gilt dann .

Beispiel

Das LORENZ-System (17.2) besitzt für einen Attraktor , den LORENZ-Attraktor, mit numerisch ermittelter Dimension (s. Abbildung).

(Die Abbildung wurde mit Mathematica erzeugt.)
Mit dem Satz von DOUADY-OESTERL´E erhält man für beliebige und r > 0 die Abschätzung mit . Damit ergibt sich für den LORENZ-Attraktor die Abschätzung .