Lyapunov-Dimension

Sei ein glattes dynamisches System auf mit Attraktor (bzw. invarianter Menge) und mit auf konzentriertem invariantem ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß. Sind die LYAPUNOV-Exponenten bezüglich und ist k der größte Index, für den und ist, so heißt die Größe

LYAPUNOV-Dimension des Maßes .
Ist , so wird gesetzt; ist , wird definiert.

Satz von Ledrappier: Es seien ein zeitdiskretes System (17.3) auf mit einer C²-Funktion und , wie oben, ein auf dem Attraktor von konzentriertes invariantes ergodisches Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gilt .

Beispiel A

Der Attraktor eines glatten dynamischen Systems werde mit Quadraten der Seitenlänge überdeckt. Es seien die gemittelten Singulärwerte von . Dann gilt für das d_C-dimensionale Volumen des Attraktors . Aus jedem Quadrat der Seitenlänge entsteht unter näherungsweise ein Parallelogramm mit und als Seitenlänge. Nimmt man Überdeckungen aus Rhomben mit der Seitenlänge , so ist . Aus der Beziehung
erhält man sofort . Diese heuristischen Überlegungen geben also einen Hinweis auf die Herkunft der Formel für die LYAPUNOV-Dimension.

Beispiel B

Gegeben sei das HÉNON-System(17.6) mit a = 1,4 und . Das System (17.6) besitzt bei diesen Parametern einen Attraktor (HÉNON-Attraktor) mit komplizierter Struktur. Die numerisch bestimmte Kapazitätsdimension ist . Für den HÉNON-Attraktor läßt sich ein SBR-Maß nachweisen. Für die LYAPUNOV-Exponenten und gilt . Mit dem numerisch ermittelten Wert ergibt sich . Damit ist .