Definition der kubischen Interpolationssplines

Es seien N Interpolationspunkte gegeben. Der kubische Interpolationsspline S(x) ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:

1. S(x) erfüllt die Interpolationsbedingung .
2. S(x) ist in jedem Teilintervall ein Polynom vom Grad .
3. S(x) ist 2mal stetig differenzierbar im gesamten Approximationsintervall .
4. S(x) erfüllt spezielle Randbedingungen:

   1. S''(x₁) = S''(x_N) = 0 (man spricht dann von natürlichen Splines) oder
   2. sind gegebene Werte) oder
   3. , falls , und S'(x₁)=S'(x_N) sowie S''(x₁) = S''(x_N) (man spricht dann von periodischen Splines).

Aus diesen Eigenschaften folgt, daß der natürliche Spline S(x) unter allen 2mal stetig differenzierbaren Funktionen , die die Interpolationsbedingung erfüllen, dadurch ausgezeichnet ist, daß

gilt (Satz von HOLLADAY). Man sagt auf Grund von (19.228), S(x) hat minimale Gesamtkrümmung, da für die Krümmung einer ebenen Kurve in erster Näherung gilt (s. Abschnitt Krümmung und Krümmungskreis). Das bedeutet: Legt man durch die Punkte ein dünnes, elastisches Lineal (engl. Spline), so wird seine Biegelinie durch den kubischen Interpolationsspline S(x) beschrieben.