Bestimmung der Spline-Koeffizienten

Für den kubischen Interpolationsspline S(x) wird für der Ansatz

gemacht. Die Länge der Teilintervalle wird mit h_i = x_i+1-x_i bezeichnet. Zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten für den natürlichen Spline kann man wie folgt vorgehen:

1. Aus der Interpolationsforderung folgt

   Es ist zweckmäßig, den im Ansatz nicht auftretenden Koeffizienten a_N einzuführen und a_N = f_N zu setzen.

2. Die Stetigkeit von S''(x) an den inneren Knoten führt zu

   Aus den natürlichen Randbedingungen folgt , und (19.231) gilt auch für , wenn man c_N einführt und c_N = 0 setzt.

3. Die Stetigkeit von S(x) an den inneren Knoten führt zu
4. Die Stetigkeit von S'(x) an den inneren Knoten ergibt
   

   c_i-1h_i-1+2(h_i-1+h_i)c_i+c_i+1h_i = (19.233)

   
   

Wegen (19.230) ist die rechte Seite des linearen Gleichungssystems (19.233) zur Bestimmung der Koeffizienten bekannt. Die linke Seite hat folgende Gestalt:

Die Koeffizientenmatrix ist tridiagonal, so daß sich das Gleichungssystem (19.233) durch LR-Zerlegung sehr einfach numerisch lösen läßt. Aus den Koeffizienten c_i erhält man über (19.232) und (19.231) die restlichen Koeffizienten.