Beispiele zum numerischen Rechnen

An einigen Beispielen sei die Problematik des zweckmäßigen Vorgehens beim numerischen Rechnen verdeutlicht.

Beispiel A: Wurzeln der quadratischen Gleichung

ax² + bx+c = 0 mit reellen Koeffizienten a, b, c und (reelle Wurzeln). Kritische Situationen ergeben sich für
a)    
b)    
Vorgehen:

1. Gemäß dem Vietaschen Wurzelsatz gilt:
   

   

   
   

2. Durch das direkte Auflösungsverfahren ist die Auslöschung bei der Berechnung von D nicht zu beseitigen. Da jedoch der Summand b betragsmäßig überwiegt, tritt eine erhebliche Fehlerdämpfung bei ein.

Beispiel B: Volumen der dünnen Kugelschale (h sehr klein gegen r)

ergibt wegen starke Auslöschung, ergibt jedoch keine Auslöschung.

Beispiel C: Bildung einer Summe

Für die Summe werde eine Genauigkeit von drei Stellen gefordert. Bei 8stelliger Rechnung müßten annähernd 6000 Summanden berücksichtigt werden. Nach der identischen Umformung erhält man
. Mit dieser Umformung sind nur noch acht Summenglieder zu berücksichtigen.

Beispiel D: Beseitigung der 0/0--Situation

Die 0/0-Situation der Funktion
für x=y=0 kann durch Erweiterung mit beseitigt werden.

Beispiel E: Instabiler rekursiver Prozess

Algorithmen der allgemeinen Form
sind dann stabil, wenn die Bedingung erfüllt ist.
Für den speziellen Fall liegt Instabilität vor. Besitzen nämlich y₀ und y₁ die Fehler und , so ergeben sich für die Fehler Damit ist für die Parameter a=-3 und b=4 der Rechenprozeß instabil.

Beispiel F: Numerische Integration einer Differentialgleichung

Für die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

und der Anfangsbedingung y(x₀) = y₀ sollen die Probleme bei der numerischen Berechnung etwas ausführlicher dargestellt werden.

a) Natürliche Instabilität:

Neben der exakten Lösung y(x) sei u(x) die Lösung zu einer gegenüber der exakten Anfangsbedingung y(x₀) = y₀ fehlerbehafteten Anfangsbedingung. Für die gestörte Lösung wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Ansatz

gemacht, wobei ein Parameter mit und eine sogenannte Störfunktion ist. Unter Beachtung von u'(x)=f(x,u) ergibt sich bei Anwendung der Taylor-Entwicklung

+ (19.282b)

die sogenannte Differentialvariationsgleichung

Die Lösung des Problems mit f(x,y)=a y lautet dann

Für a > 0 führt eine kleine Anfangsstörung zu unbeschränkt wachsender Störung . Damit liegt natürliche Instabilität vor.

b) Untersuchung des Verfahrensfehlers bei der Trapezformel:

Mit a=-1 ergibt sich die stabile Differentialgleichung y'(x)=-y(x) mit der exakten Lösung

Die Trapezformel lautet

Angewendet auf die angegebene Differentialgleichung erhält man

= (19.283c)

Mit x_i=x₀+ih und daraus i=(x_i-x₀)/h erhält man für

c(h) = (19.283d)

Unter der Voraussetzung gilt dann , und damit strebt für auch gegen die exakte Lösung .

c) Eingangsfehler:

Unter b) war vorausgesetzt worden, daß exakter und näherungsweiser Anfangswert übereinstimmen. Jetzt soll das Verhalten untersucht werden, wenn mit gilt. Wegen

Damit ist höchstens von der gleichen Größenordnung wie , und das Verfahren ist bezüglich des Anfangswertes stabil.

Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß für den Fall der numerischen Lösung der obigen Differentialgleichung mit der SIMPSON-Formel künstlich Instabilitäten eingeführt werden. So würde sich in diesem Fall beispielsweise die allgemeine Lösung

für ergeben. Der Grund besteht darin, daß das numerische Lösungsverfahren Differenzen höherer Ordnung benutzt, als es der Ordnung der Differentialgleichung entspricht.