Numerische lineare Algebra

Nach dem Starten von Matlab wird im Kommandofenster das Prompt angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe angibt. Wird ein Kommando nicht durch ein Semikolon abgeschlossen, erfolgt die Darstellung des Ergebnisses im Kommandofenster. Das grundlegende Kommando zur numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems (s. Lösung von Gleichungssystemen) ist der Backslash-Operator .

Beispiel

Gegeben seien die Matrix und der Vektor . Zur Eingabe

erhält man die Ausgabe

Wie die euklidische Norm des Residuums zeigt, erfüllt die berechnete Lösung x (wobei nicht alle Stellen dargestellt werden) das Gleichungssystem im Rahmen der Maschinengenauigkeit der Gleitpunktzahlen.

Ist die Matrix quadratisch und regulär, so besitzt das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Durch den Backslash-Operator wird dann i.Allg. das GAUSSsche Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotisierung, also eine Dreieckszerlegung realisiert

Beispiel

Die Dreieckszerlegung von A gewinnt man auch durch

mit der Ausgabe

(Zur besseren Übersichtlichkeit wurden hier die Matrixklammern ergänzt.)

Allerdings testet der Backslash-Operator zunächst die Eigenschaften der Systemmatrix . Ist eine Permutation einer Dreiecksmatrix, so wird das entsprechende gestaffelte Gleichungssystem gelöst. Für symmetrisches wird versucht, das CHOLESKY-Verfahren anzuwenden.

Bei der Lösung können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl der Systemmatrix sehr groß ist. Deshalb berechnet Matlab im Verfahren eine Schätzung der reziproken Konditionszahl und gibt eine Warnung aus, falls diese zu klein wird.

Beispiel Hilbert-Matrix

Als Beispiel dient die HILBERT-Matrix der Dimension n =13, wobei h_ik =1/(i+k-1).

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.409320e-017.

Für überbestimmte lineare Gleichungssysteme werden die zugehörigen linearen Ausgleichsaufgaben durch Orthogonalisierungsverfahren, d.h. durch orthogonale Transformationen in eine
QR--Zerlegung behandelt.

Beispiel

    

Der Backslash-Operator liefert auch für unterbestimmte und rangdefiziente lineare Gleichungssysteme ein sinnvolles Ergebnis. Für die diesbezüglichen Details und die Besonderheiten beim Umgang mit großen, dünn besetzten Matrizen sei auf die umfangreiche Dokumentation von Matlab und die Einführungen [19.15], [19.30] verwiesen.