Dreieckszerlegung

Das Ergebnis des GAUSSschen Eliminationsverfahrens kann wie folgt formuliert werden: Zu jeder regulären Matrix existiert eine sogenannte Dreieckszerlegung oder LR-Faktorisierung der Form

heißt Rechtsdreiecksmatrix, Linksdreiecksmatrix und ist eine sogenannte Permutationsmatrix. Sie ist eine quadratische Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen enthält. Sie beschreibt die Zeilenvertauschungen in der Matrix , die sich durch die Pivotwahl in den Eliminationsschritten ergeben.

Beispiel

Das GAUSSsche Eliminationsverfahren soll auf das System angewendet werden. In einer schematischen Schreibweise, bei der die Koeffizientenmatrix und der Vektor der rechten Seite zu einer sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix zusammengefaßt werden, erhält man:
,
d.h.
.
In den erweiterten Koeffizientenmatrizen sind die Matrizen und sowie die Pivots gekennzeichnet worden.