Regula falsi

1. Vorschrift der Regula falsi:

Zur Lösung der Nullstellengleichung f(x)=0 verfährt die Regula falsi nach der Vorschrift

d.h., sie benutzt nur Funktionswerte und geht aus dem NEWTON-Verfahren (19.6) dadurch hervor, daß die Ableitung f'(x_n) durch den Differenzenquotienten von f(x) zwischen x_n und einem vorhergehenden Näherungswert ersetzt wird.

2. Konvergenz der Regula falsi:

Das Verfahren (19.10) konvergiert sicher, wenn man m jeweils so wählt, daß f(x_m) und f(x_n) verschiedene Vorzeichen haben. Ist bei fortgeschrittener Iteration die Konvergenz bereits gesichert, so wird sie beschleunigt, wenn man ohne Rücksicht auf die Vorzeichenbedingung x_m = x_n-1 setzt.

Beispiel

Falls sich im Verlaufe der Rechnung die Werte nur noch unwesentlich ändern, kann auf ihre Neuberechnung verzichtet werden.

3. Geometrische Interpretation:

Die geometrische Interpretation der Regula falsi ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Die Grundidee der Regula falsi besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = f(x) durch eine Sekante.

4. Steffensen-Verfahren:

Durch Anwendung der Regula falsi mit x_m = x_n-1 auf die Gleichung läßt sich häufig die Konvergenz wesentlich beschleunigen oder im Falle sogar erzwingen. Diese Vorgehensweise ist unter dem Namen STEFFENSEN-Verfahren bekannt geworden.

Beispiel

Zur Lösung der Gleichung mit Hilfe des STEFFENSEN-Verfahrens soll die Gleichung benutzt werden.