Eulersches Polygonzugverfahren

Durch Integration erhält man aus der Anfangswertaufgabe zu (19.93) die Integraldarstellung

Diese ist Ausgangspunkt für die Näherung

die zu der folgenden Vorschrift des EULERschen Polygonzugverfahrens verallgemeinert wird:

Zur geometrischen Interpretation (s. Abbildung). Vergleicht man (19.96) mit der TAYLORentwicklung

mit , dann sieht man, daß die Näherung y₁ für den exakten Wert y(x₁) einen Fehler von der Größenordnung h² hat. Die Genauigkeit kann durch Verkleinerung der Schrittweite h erhöht werden. Rechnungen zeigen, daß sich bei Halbierung der Schrittweite h auch der Fehler der Näherungen für y(x) an einer festen Stelle x etwa halbiert.
Mit Hilfe des EULERschen Polygonzugverfahrens kann man sich sehr schnell einen Überblick über den ungefähren Verlauf der Lösungskurve verschaffen.