Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole

Beim Vergleich zweier Funktionen kommt es häufig auf ihr gegenseitiges Verhalten für bestimmte Argumente x=a an. Das hat zur Einführung des Begriffes der Größenordnung einer Funktion und der folgenden Größenordnungsbeziehungen geführt.

1. Von höherer Ordnung unendlich groß:

Eine Funktion f(x) wird von höherer Ordnung unendlich groß als eine Funktion wenn beim Grenzübergang ihre Absolutbeträge sowie der Absolutbetrag des Quotienten über alle Grenzen wachsen.

2. Von höherer Ordnung unendlich klein:

Eine Funktion f(x) wird von höherer Ordnung unendlich klein als eine Funktion d.h., sie verschwindet von höherer Ordnung, wenn beim Grenzübergang ihre Absolutbeträge sowie der Quotient gegen null gehen.

3. Null oder unendlich von gleicher Größenordnung:

Zwei Funktionen f(x) und g(x) streben gegen null oder unendlich von der gleichen Größenordnung, wenn der Absolutbetrag des Quotienten beim Grenzübergang beschränkt bleibt, d.h. wenn gilt:

4. Landau-Symbole:

Das gegenseitige Verhalten zweier Funktionen bezüglich einer beliebigen Stelle x=a wird durch die LANDAU-Symbole O (groß O ), bzw. o (klein o ) wie folgt beschrieben: Es bedeutet für

und

wobei zugelassen ist. Die LANDAU-Symbole haben nur Sinn bei gleichzeitiger Vorgabe der Bewegungsrichtung .

Beispiel A

für denn mit und g(x) = x gilt: d.h., verhält sich in der Umgebung von x=0 wie

Beispiel B

f(x) verschwindet von höherer Ordnung als g(x) für
d.h., für .

Beispiel C

f(x) und g(x) verschwinden von gleicher Ordnung für :
d.h., für

5. Polynome:

Die Größenordnung von ganzrationalen Funktionen kann durch den Grad der Funktion ausgedrückt werden. So hat die Funktion f(x)=x die Größenordnung 1, ein Polynom mit dem Grad n+1 hat eine um 1 höhere Ordnung als ein Polynom mit dem Grad . Allerdings gilt diese Regel nicht für alle elementaren Funktionen.

6. Exponentialfunktion:

Die Exponentialfunktion wird stärker unendlich als jede noch so hohe Potenz xⁿ  (n feste natürliche Zahl):

Durch Anwendung der Regel von L'HOSPITAL ergibt sich nämlich

7. Logarithmusfunktion:

Der Logarithmus wird schwächer unendlich als jede noch so niedrige positive Potenz x^1/n (n - feste natürliche Zahl):

Der Beweis wird ebenfalls mit der Regel von L'HOSPITAL geführt.