Methode der kleinste Quadrate

Es seien N Wertepaare , z.B. durch Messung gefundene Werte, vorgegeben. Gesucht wird eine Funktion , deren Funktionswerte von den gegebenen Werten in dem Sinne möglichst wenig abweichen, daß der quadratische Ausdruck

minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion g(x) enthält. Die Formel (19.175a) stellt die klassische Fehlerquadratsumme dar. Die Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe der notwendigen Bedingungen für ein relatives Extremum wird auch als als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Mit dem Ansatz (19.167) und den Bedingungen

für ein Minimum von (19.175a) erhält man zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten im diskreten Fall das lineare Gleichungssystem der Normalgleichungen

Dabei werden in Anlehnung an die GAUSSsche Summensymbolik die folgenden Abkürzungen verwendet:

In der Regel gilt .

Beispiel

Für den Polynomansatz lauten die Normalgleichungen
 mit
.
Die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems (19.175c) ist symmetrisch, so daß für die numerische Lösung das CHOLESKY-Verfahren in Frage kommt.