Stetige Aufgabe, Normalgleichungen

Eine Funktion f(x) ist über dem Intervall [a,b] durch eine Funktion g(x) in dem Sinne zu approximieren, daß der Ausdruck

minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion g(x) enthält. Mit ist eine gegebene Gewichtsfunktion bezeichnet, für die im Integrationsintervall gelten soll.
Macht man für die Näherungsfunktion g(x) den Ansatz

mit geeigneten, linear unabhängigen Funktionen , dann führen die notwendigen und hier auch hinreichenden Bedingungen

für ein Minimum von (19.166) auf das sogenannte Normalgleichungssystem

zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten . Dabei werden die Abkürzungen

und

die auch als Skalarprodukte der betreffenden zwei Funktionen bezeichnet werden, verwendet.
Das System der Normalgleichungen ist eindeutig lösbar, da für die Ansatzfunktionen , g_n(x) lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt war. Die Koeffizientenmatrix des Systems (19.169) ist symmetrisch, so daß zur Lösung das CHOLESKY-Verfahren verwendet werden sollte.

Die Ansatzkoeffizienten a_i können direkt berechnet werden, ohne Lösung eines Gleichungssystems, wenn das System der Ansatzfunktionen orthogonal ist, d.h. wenn gilt:

Darüber hinaus spricht man von einem orthonormierten System, wenn gilt:

Mit (19.172) vereinfachen sich die Normalgleichungen (19.169) zu

Linear unabhängige Funktionensysteme können orthogonalisiert werden. Aus den Potenzfunktionen erhält man je nach Wahl der Gewichtsfunktion und des Integrationsintervalls die folgenden Orthogonalpolynome:

Tabelle Orthogonalpolynome

[a,b]		Bezeichung der Orthogonalpolynome
[-1,1]	1	LEGENDREsche Polynome Pn(x)
[-1,1]		TSCHEBYSCHEFFsche Polynome Tn(x)
	e-x	LAGUERREsche Polynome Ln(x)
	e-x2/2	HERMITEsche Polynome Hn(x)

Mit dieser Auswahl können die wichtigsten Anwendungsfälle berücksichtigt werden:

1. endliches Approximationsintervall,
2. einseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei zeitabhängigen Problemen,
3. zweiseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei Strömungsproblemen.

Man beachte, daß jedes endliche Intervall [a,b] durch die Substitution

auf das Intervall , für das viele Ansatzfunktionen definiert sind, transformiert werden kann.