Vollständig durchgerechnetes Beispiel

1. Aufgabenstellung:
Es ist eine empirische Formel für die in der folgenden Tabelle vorgegebene Abhängigkeit zwischen x und y zu suchen.
Tabelle zur Annäherung empirischer Daten
x y yerr
0,1 1,78 0,056 0,007 -1,000 0,250 0,301 0,252 0,252 1,78
0,2 3,18 0,063 0,031 -0,699 0,502 0,176 +0,002 -0,097 3,15
0,3 3,19 0,094 0,063 -0,523 0,504 0,125 -0,099 -0,447 3,16
0,4 2,54 0,157 0,125 -0,398 0,405 0,097 -0,157 -0,803 2,52
0,5 1,77 0,282 0,244 -0,301 0,248 0,079 -0,191 -1,134 1,76
0,6 1,14 0,526 0,488 -0,222 0,057 0,067 -0,218 -1,455 1,14
0,7 0,69 1,014 0,986 -0,155 -0,161 0,058 -0,237 - 0,70
0,8 0,40 2,000 1,913 -0,097 -0,398 0,051 -0,240 - 0,41
0,9 0,23 3,913 3,78 -0,046 -0,638 0,046 -0,248 - 0,23
1,0 0,13 7,69 8,02 0,000 -0,886 0,041 -0,269 - 0,13
1,1 0,07 15,71 14,29 0,041 -1,155 0,038 -0,243 - 0,07
1,2 0,04 30,0 - 0,079 -1,398 - - - 0,04
2. Auswahl der Näherungsfunktion:
Ein Vergleich der Kurve, die auf der Grundlage der Daten in der Tabelle erhalten wurde (nächste Abbildung), mit bisher betrachteten Kurven zeigt, daß die Formeln (2.253) oder y=axbecx (2.255a) mit den folgenden Abbildungen geeignet sein könnten.

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3. Parameterbestimmung:
Nimmt man Formel (2.253), dann sind und x zu rektifizieren. Die Rechnung zeigt aber, daß die Abhängigkeit zwischen x und weit entfernt von Linearität ist. Zur Überprüfung der Eignung von Formel (2.255a) wird die Kurve der Abhängigkeit und für h=0,1 erzeugt sowie die für und x für

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In beiden Fällen ist die Übereinstimmung mit einer Geraden ausreichend, so daß die Formel y=axbecx für die Näherung geeignet ist. Zur Bestimmung der Konstanten a,b und c wird eine lineare Abhängigkeit zwischen x und mit der Mittelwertmethode gesucht. Addition der Bedingungsgleichungen in zwei Gruppen zu je drei Gleichungen führt auf


woraus sich b=1,966 und c=-7,932 ergibt. Zur Bestimmung von a werden alle Gleichungen vom Typ addiert, was ergibt, so daß aus folgt a = 364. Die mit der Formel y=364x1,966e-7,032x berechneten y-Werte sind in der letzten Spalte der obigen Werte-Tabelle als angegeben. Die Fehlerquadratsumme beträgt 0,0024. Benutzt man die durch Rektifizierung gewonnenen Parameter als Startwerte zur iterativen Lösung der nichtlinearen Quadratmittelaufgabe


dann erhält man mit der minimalen Fehlerquadratsumme 0,000 0916.