Polynom n-ten Grades

Die ganzrationale Funktion n-ten Grades

stellt eine Kurve n-ter Ordnung vom parabolischen Typ dar.

Fall 1: n ungerade

Für a_n > 0 verläuft y stetig von bis und für a_n <0 von bis . Die x-Achse kann von der Kurve bis zu n mal geschnitten bzw. berührt werden (s. auch Gleichung n-ten Grades und Polynomgleichungen). Die Funktion (2.43) besitzt entweder keine oder eine gerade Anzahl von bis zu n-1 Extremwerten, wobei Minima und Maxima einander abwechseln; die Zahl der Wendepunkte ist ungerade und liegt zwischen 1 und . Asymptoten oder singuläre Punkte gibt es nicht.

Fall 2: n gerade

Für a_n > 0 hat y einen stetigen Verlauf von über ein Minimum bis und für a_n < 0 von über ein Maximum nach Die Kurve schneidet oder berührt die x-Achse entweder nicht oder 1 bis n mal; Maxima und Minima wechseln einander ab; die Anzahl der Wendepunkte ist gerade. Asymptoten oder singuläre Punkte existieren nicht.

Vor dem Zeichnen der Kurven empfiehlt es sich, zuerst Extremwerte, Wendepunkte und die Werte der ersten Ableitung in diesen Punkten zu bestimmen, dann die Kurventangenten einzuzeichnen, um schließlich alle diese Punkte stetig miteinander zu verbinden.