Zeitentwicklung

Die zeitliche Entwicklung eines abgeschlossenen Quantensystems wird durch die Energieobservable , auch HAMILTON-Operator genannt, gemäß der VON-NEUMANN-Gleichung gesteuert:

Ist ein Eigenzustand von , also ein Zustand mit scharfer Energie, so folgt hieraus: . Falls nicht von der Zeit abhängt, bleibt in diesem Fall auch zeitlich konstant.

Beispiel Von-Neumann-Gleichung für einen Spin im Magnetfeld

Ein ruhendes Teilchen mit Spin 1/2 befinde sich in einem Magnetfeld . Die Wechselwirkung eines Spins mit einem Magnetfeld erfolgt über das vom Spin erzeugte magnetische Moment . Die Energie eines Spins im gegebenen Magnetfeld ist folglich

wobei der letzte Ausdruck in Matrixdarstellung bezüglich der -Eigenbasis erfolgte. Für ein konstantes Magnetfeld ist der HAMILTON-Operator damit zeitunabhängig. Die Matrixdarstellung des Zustandes (ebenfalls bezüglich der -Eigenbasis)

liefert zusammen mit dem Ausdruck für , eingesetzt in die VON-NEUMANN-Gleichung

das folgende System von Differentialgleichungen für die Komponenten von :

Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergeben die Lösungen (siehe Systeme von Differentialgleichungen) die Zeitentwicklung des Systems:

• Schrödinger-Gleichung
• Zeitentwicklungsoperator
• Lösung der Schrödinger-Gleichung als Eigenwertproblem
• Beispiele für Lösungen der Schrödinger-Gleichung