Vektorraum

Ein HILBERT-Raum ist als vollständiger, unitärer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen erklärt. Im folgenden werden einige seiner wichtigsten Eigenschaften rekapituliert, wobei die in der Quantenmechanik gebräuchliche DIRAC-Schreibweise eingeführt wird. Nach dieser werden Vektoren des HILBERT-Raumes mit dem Symbol bezeichnet. Auf sind zwei Operationen, die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit komplexen Zahlen, wie folgt definiert:

1. Zu je zwei Vektoren gibt es genau einen Vektor .
2. Zu jedem und gibt es genau einen Vektor , so daß folgende Vektorraumaxiome für alle und erfüllt sind:
3. .
4. Es existiert ein Vektor , so dass .
5. Zu jedem Vektor existiert ein Vektor , so dass .
6. .
7. , .
8. .
9. .
10. .

Die Eigenschaften 1. und 2. sind in der Quantenmechanik als Superpositionsprinzip bekannt: Jede Linearkombination von Quantenzuständen bildet erneut einen Quantenzustand.

Beispiel A: Teilchen im eindimensionalen Ortsraum

Der HILBERT-Raum eines Teilchens mit der Ortskoordinate ist der Raum der quadratisch integrablen Funktionen auf (siehe auch Beispiele im Abschnitt Orthogonale System). Die Funktionen von bezeichnet man in der Quantenmechanik häufig als Wellenfunktionen. Die komplexe Zahl wird physikalisch als Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Aufenthalt des Teilchens am Ort interpretiert (siehe Statistische Interpretation der Wellenfunktion).

Beispiel B: Diskrete Freiheitsgrade

Bei Problemen mit endlich vielen diskreten Freiheitsgraden, z.B. der Beschreibung eines Atoms mit verschiedenen Energieniveaus, wird als HILBERT-Raum verwendet. Seine Vektoren haben also die Form , wobei als Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Besetzung des -ten Niveaus interpretiert wird.