6. Grundaufgabe WWS

Gegeben: 2 Winkel und die einem Winkel gegenüberliegende Seite, z.B. 
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidung.

Lösung: Gesucht beliebige fehlende Größe .

2 Werte b₁, b₂ sind möglich. Es sei b₁ spitz und stumpf.
Fallunterscheidung:

1. d.h. 0 Lösungen.
2. d.h. 1 Lösung
3. d.h. weitere Fallunterscheidungen sind notwendig:

3.1.  Weitere Fallunterscheidung:

3.1.1. 

d.h. 1 Lösung .

3.1.2. 

d.h. 1 Lösung .

3.2.  Weitere Fallunterscheidung:

3.2.1. ,

d.h. 2 Lösungen .

3.2.2. ,

d.h. 0 Lösungen.

Fortführung: Weitere Berechnung mit einer Seite oder 2 Seiten .

1. Weg: Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke, wobei die Seiten u und v auftreten.

Dazu wird von C das sphärische Lot auf AB bis D gefällt.

2. Weg: Mit Hilfe der NEPERschen Gleichungen (3.203b) und (3.203d) ergibt sich:

Probe: Doppelte Berechnung von

Beispiel A: Dreiseitige Pyramide

Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche ABC und die Spitze

Die Seitenflächen ABS und BCS schneiden sich unter und CAS unter und CAS und ABS unter . Wie groß sind die Winkel, unter denen sich je zwei der Kanten AS,BS und CS schneiden?
Lösung: Aus einer Kugelfläche um die Spitze S der Pyramide schneidet das Dreikant ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a,b,c aus. Die Winkel zwischen den Seitenflächen sind die Winkel des sphärischen Dreiecks, die gesuchten Winkel zwischen den Kanten sind seine Seiten. Die Bestimmung der Winkel a,b,c entspricht der 2. Grundaufgabe. Die 2. Lösung liefert:

Beispiel B: Funkpeilung

Durch Funkpeilung von zwei festen Stationen und wurden die Azimute und der von einem Schiff ausgesandten Funkwellen gepeilt.

Gesucht sind die geographischen Koordinaten des Standortes P₀ des Schiffes. Die in der Nautik unter dem Namen Fremdpeilung bekannte Aufgabe stellt einen Vorwärtseinschnitt auf der Kugel dar und wird ähnlich dem Vorwärtseinschnitt in der Ebene gelöst.

1. Berechnung im Dreieck :

Im Dreieck P₁P₂N sind die Seiten und der Winkel gegeben. Die Berechnung der Winkel und der Strecke P₁P₂=e erfolgt gemäß 3. Grundaufgabe.

2. Berechnung im Dreieck P₁P₂P₀:

Da sind in P₁P₀P₂ die Seite e und die anliegenden Winkel und bekannt. Berechnung der Seiten e₁ und e₂ gemäß 4. Grundaufgabe, 3. Lösung. Die Koordinaten des Punktes P₀ sind aus dem Azimut und der Entfernung gegen P₁ oder P₂, also doppelt berechenbar.

3. Berechnung im Dreieck N P₁ P₀:

Im Dreieck NP₁P₀ sind die zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben.
Nach der 3. Grundaufgabe, 1. Lösung, werden die Seiten und der Winkel berechnet. Zur Kontrolle werden im Dreieck NP₀P₂ ein zweites Mal und der Winkel berechnet. Damit sind die Länge und die Breite des Punktes P₀ bekannt.