Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten

Die Darstellung eines skalaren Produkts zweier Vektoren durch seine kontravarianten Koordinaten liefert Formel (3.295). Die entsprechende Formel für kovariante Koordinaten lautet

wobei die metrischen Koeffizienten im System mit den reziproken Vektoren sind. Ihr Zusammenhang mit den Koeffizienten g_mn lautet

wobei A^mn die Unterdeterminante der im Nenner stehenden Determinante ist; sie entsteht durch Streichen der Zeile und Spalte des Elements g_mn.
Wenn der Vektor durch kovariante Koordinaten gegeben ist, der Vektor dagegen durch kontravariante Koordinaten, dann ist ihr Skalarprodukt gleich

und analog gilt