Kreis

1. Definition

Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene, dem Mittelpunkt des Kreises, einen konstanten Abstand, den Radius des Kreises, haben (s. auch Kreis im Unterkapitel Planimetrie).

2. Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten

Die Gleichung des Kreises lautet in kartesischen Koordinaten für den in der linken Abbildung vorliegenden Fall, daß der Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung liegt,

Liegt der Mittelpunkt im Punkt C(x₀,y₀) (rechte Abbildung), dann ergibt sich

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades

ax² + 2bxy + cy² +2dx + 2ey +f = 0 (3.337a)

liefert dann und nur dann einen Kreis, wenn b = 0 und . Für diesen Fall kann die Gleichung stets auf die Form

x² + y² + 2mx + 2ny + q = 0 (3.337b)

gebracht werden. Für den Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes gilt dann

Für q > m² + n² liefert die Gleichung keine reelle Kurve, für q = m²+ n² ergibt sich ein einziger Punkt

3. Parameterdarstellung des Kreises

wobei t der Winkel zwischen dem beweglichen Radius und der positiven Richtung der x-Achse ist.

4. Kreisgleichung in Polarkoordinaten

Die Kreisgleichung in Polarkoordinaten lautet ganz allgemein und in Übereinstimmung mit der linken Abbildung

Wenn der Kreismittelpunkt auf der Polarachse liegt und der Kreis durch den Koordinatenursprung verläuft (rechte Abbildung), dann vereinfacht sich die Gleichung zu

Tangente an den Kreis

Die Tangente an den Kreis mit der Gleichung (3.336a) im Punkt P(x₀,y₀) (s. die folgende Abbildung) beschreibt die Gleichung