Ellipse

1. Elemente der Ellipse

In der folgenden Abbildung sind die große Achse, die kleine Achse, A, B, C, D die Scheitel, F₁, F₂ die Brennpunkte mit dem Abstand auf beiden Seiten des Mittelpunktes, e = c/a < 1 die numerische Exzentrizität und p=b²/a der Halbparameter, d.h. die halbe Länge der durch einen Brennpunkt parallel zur kleinen Achse gezogenen Sehne.

2. Gleichung der Ellipse

Die Ellipsengleichung lautet in der Normalform, d.h. für zusammenfallende Koordinaten- und Ellipsenachsen sowie in der Parameterform

Die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.

3. Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse

Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich 2a ist. Jeder dieser Abstände, die auch Brennpunktradien eines Ellipsenpunktes genannt werden, berechnet sich als Funktion von der Abszissenkoordinate x gemäß

In dieser und in den weiteren Formeln mit kartesischen Koordinaten wird angenommen, daß die Ellipse in der Normalform gegeben ist.

4. Leitlinien der Ellipse

Leitlinien der Ellipse sind Geraden parallel zur kleinen Achse im Abstand

Jeder beliebige Ellipsenpunkt P(x,y) unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Ellipse

(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)

5. Durchmesser der Ellipse

Durchmesser der Ellipse werden diejenigen Sehnen genannt, die durch den Ellipsenmittelpunkt gehen und von diesem halbiert werden.

Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Sehnen, die zu einem Ellipsendurchmesser parallel sind, ist wieder ein Durchmesser, ein konjugierter Durchmesser zum ersten. Für k und k' als Richtungskoeffizienten zweier konjugierter Durchmesser gilt

Wenn 2a₁ und 2b₁ die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und sowie die spitzen Winkel zwischen den Durchmessern und der großen Achse, wobei und ist, dann gilt der Satz des APOLLONIUS in der Form

6. Tangente an die Ellipse

Die Tangente an die Ellipse im Punkt P(x₀,y₀) beschreibt die Gleichung

Normale und Tangente an die Ellipse sind jeweils Winkelhalbierende des inneren Winkels und dessen Supplementwinkels zwischen den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt P weisenden Radiusvektoren.

Die Gerade x + By + C =0 ist eine Tangente an die Ellipse, wenn die Gleichung

A²a² + B²b² - C² =0 (3.348)

erfüllt ist.

7. Krümmungskreisradius der Ellipse

Mit u als Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor von einem der Brennpunkte zum Berührungspunkt P(x₀,y₀) gilt:

In den Scheiteln A und B sowie C und D (rechte Abbildung) ist und

8. Flächeninhalte der Ellipse

a) Ellipse:

b) Ellipsensektor BOP:

c) Ellipsenabschnitt PBN:

9. Ellipsenbogen und Ellipsenumfang

Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten der Ellipse läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung .
Den Umfang der Ellipse berechnet man mit Hilfe des vollständigen Integrals 2. Gattung, Beispiel Ellipsenumfang
mit der numerischen Exzentrizität und (für ein Viertel des Umfanges) zu

Setzt man , dann ist

und in Näherung

Beispiel

Für a =1,5, b =1 liefert diese Gleichung den Wert 7,9333 für den Ellipsenbogen, während eine genauere numerische Integration mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung den Wert 7,932721 ergibt. Bei Anwendung der Tabelle für das vollständige elliptische Integral 2. Gattung erhält man den Näherungswert 7,94.