Asymptoten

Definition der Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert. Dabei kann die Annäherung von einer Seite her erfolgen (linke Abbildung), oder die Kurve schneidet die Gerade dauernd (rechte Abbildung).

Nicht jede sich unbegrenzt vom Koordinatenursprung entfernende Kurve (unendlicher Kurvenzweig) muß eine Asymptote besitzen. So bezeichnet man z.B. bei unecht gebrochenrationalen Funktionen den ganzrationalen Anteil als asymptotische Näherung.

Vorgabe der Funktion in Parameterform

Zur Bestimmung der Asymptotengleichung sind die Werte zu ermitteln, für die bei entweder oder geht.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a) Die Asymptote ist eine horizontale Gerade:

b) Die Asymptote ist eine vertikale Gerade:

c) Die Asymptote ist eine Gerade mit y=kx+b:

Wenn sowohl y(t_i) als auch x(t_i) gegen unendlich gehen, dann sind die Grenzwerte und zu bilden. Existieren sie beide, dann liefern sie die Konstanten für die Geradengleichung der Asymptote:

Beispiel

Für die zweite Asymptote usw. erhält man in Analogie dazu

Vorgabe der Funktion in expliziter Form

Die vertikalen Asymptoten werden als
Unstetigkeitspunkte beim unendlichem Sprung der Funktion f(x) ermittelt, die horizontalen und geneigten Asymptoten als Gerade mit den entsprechenden Grenzwerten:

Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form

Die Funktion F(x,y) ist ein Polynom in x und . Für horizontale und vertikale Asymptoten einerseits und geneigte Asymptoten andererseits ist je ein anderes Verfahren notwendig.

1. Horizontale und vertikale Asymtoten:

Zur Bestimmung der horizontalen und vertikalen Asymptoten werden von dem vorliegenden Polynom in x und y die Glieder mit dem höchsten Grad m ausgewählt und als implizite Funktion abgespaltet. Die Gleichung wird nach x und y aufgelöst:

Die Werte y₁ =a für ergeben die horizontalen Asymptoten die Werte x₁ =b für die vertikalen

2. Asymptoten mit der Geradengleichung:

Zur Bestimmung der geneigten Asymptoten mit der Gleichung y =kx+b wird in F(x,y) die Geradengleichung y =kx + b eingesetzt und das so gewonnene Polynom nach Potenzen von x geordnet:

Die Parameter k und b ergeben sich, falls sie existieren, aus den Gleichungen

Beispiel

Betrachtung des kartesischen Blattes mit

Aus den Gleichungen und k²b-ka =0 ergeben sich die Lösungen so daß sich die Gleichung der Asymptote zu y =-x-a ergibt.