Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie

Krümmung einer Kurve im Punkt P wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes von einer Geraden angibt. Die exakte Definition lautet:

1. Krümmungskreisradius

Der Krümmungskreisradius ist der Kehrwert der Krümmung:

2. Formeln zur Berechnung von K und

1. Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von s
   gemäß (3.542a):

   wobei es sich um Ableitungen nach s handelt.

2. Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von t
   gemäß (3.541):
   

   K² =

   = (3.551)

   
   

   Die Ableitungen sind hier nach t vorzunehmen.

3. Schraubenlinie

Die Gleichungen

beschreiben die sogenannte Schraubenlinie als Rechtsschraube.

Wenn ein Beobachter in die positive Richtung der z-Achse blickt, die gleichzeitig Schraubenachse sein soll, dann windet sich die Schraube beim Steigen im Drehsinn des Uhrzeigers. Eine Schraubenlinie, die sich im entgegengesetzten Drehsinn windet, wird Linksschraube genannt.

Beispiel

Es ist die Krümmung der Schraubenlinie (3.552) zu bestimmen. Wird der Parameter t durch ersetzt, dann ergibt sich und gemäß (3.550) Beide Größen K und sind konstant.
Ein anderer Weg ohne Parametertransformation über (3.551) hätte zu dem gleichen Ergebnis geführt.