Messungen auf der Raumfläche

1. Länge des Bogens:

Die Länge einer Kurve auf der Fläche wird für über

berechnet.

2. Winkel zwischen zwei Kurven:

Der Winkel zwischen zwei Kurven und auf der Fläche , d.h. zwischen ihren Tangenten, die sich im Punkt P schneiden und in diesem Punkt die durch die Vektoren und vorgegebene Richtung haben, wird mit der Formel

= (3.579)

berechnet.

Die Koeffizienten E, F und G sind für den Punkt P zu bestimmen, und , , , stellen die ersten Ableitungen von , , v₁(t) und v₂(t) für den, dem Punkt P entsprechenden Parameterwert dar. Wenn der Zähler von (3.579) verschwindet stehen beide Kurven senkrecht aufeinander. Die Orthogonalitätsbedingung für die Koordinatenlinien und lautet

3. Flächeninhalt eines Flächenstückes:

Der Flächeninhalt eines Flächenstückes das von einer beliebigen, auf der Fläche liegenden Kurve begrenzt wird, kann über das Doppelintegral

mit

berechnet werden. Man nennt dS Flächenelement.
Die Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten auf Flächen ist mit Hilfe der Formeln (3.578, 3.579, 3.580a,b) möglich, wenn die Koeffizienten E, F und G der ersten quadratischen Fundamentalform bekannt sind. Somit definiert die erste quadratische Fundamentalform die Metrik auf der Fläche.