Krümmung einer Fläche

Zur numerischen Charakterisierung der Krümmung einer Fläche werden hauptsächlich zwei Größen benutzt:

1. Mittlere Krümmung

einer Fläche im Punkt P

2. Gaußsche Krümmung

einer Fläche im Punkt P

Beispiel A

Für den Kreiszylinder mit dem Radius a ist und

Beispiel B

Für elliptische Punkte ist für hyperbolische K < 0 und für parabolische

3. Berechnung von Hund K,

wenn die Fläche explizit gemäß z = f(x,y) vorgegeben ist:

Die Bedeutung von p, q, r, s, t entspricht (3.584b):

4. Klassifizierung der Flächen nach ihrer Krümmung

1. Minimalflächen sind Flächen, deren mittlere Krümmung H in allen Punkten Null ist, d.h. für die R₁ = -R₂ gilt.
2. Flächen konstanter Krümmung zeichnen sich durch konstante GAUSSsche Krümmung aus.

Beispiel A

z.B. die Kugel.

Beispiel B

z.B. die Pseudosphäre (obere Abbildung), d.h. die Rotationsfläche der Traktrix (untere Abbildung) bei Rotation um die Symmetrieachse.