Körpererweiterungen

Es seien K und E Körper. Gilt , so heißt E Körpererweiterung über .

Beispiel A

Die Zahlenbereiche und sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe mit Einselement; und sind sogar Körper.
Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring ohne Einselement.
Der Körper ist der Erweiterungskörper von .

Beispiel B

Die Menge M_n aller Matrizen vom Typ (n,n) über den reellen (oder komplexen) Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement.

Beispiel C

Die Menge der reellen Polynome bildet bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring R[x]. n heißt Grad des Polynoms p(x). Er wird mit degp(x) bezeichnet. Allgemeiner kann man anstelle des Polynomringes über auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen mit Einselement betrachten.

Beispiel D

Beispiele für endliche Ringe sind die Restklassenringe besteht aus allen Klassen [a]_m von ganzen Zahlen, die bei der Division durch m den gleichen Rest lassen. Mit [a]_m wird die durch die ganze Zahl a bestimmte Äquivalenzklasse bezüglich der Relation bezeichnet. Dabei sind durch

Ringoperationen auf erklärt. Ist die natürliche Zahl m eine Primzahl, so wird sogar ein Körper. Meist wird gesetzt, d.h., die Restklassen werden durch Reprsentanten ersetzt.