Untergruppen

Es sei eine Gruppe und Ist U bezüglich wieder eine Gruppe, so heißt eine Untergruppe von G.
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe ist genau dann Untergruppe von G, wenn für alle auch und a^-1 in U liegen (Untergruppenkriterium).

1. Zyklische Untergruppen

Die Gruppe G selbst und E= {e} sind Untergruppen von G, die trivialen Untergruppen. Außerdem bestimmt jedes Element eine Untergruppe, die von a erzeugte zyklische Untergruppe

Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen a^k als Abkürzung für die k-fache Verknüpfung von a mit sich selbst ganzzahlige Vielfache ka als Abkürzung für die k-fache Addition von a mit sich selbst, d.h.

Dabei ist <a> die kleinste Untergruppe von die a enthält. Gilt für ein Element a aus so heißt G eine zyklische Gruppe.
Es gibt unendliche zyklische Gruppen, wie bezüglich der Addition, und endliche zyklische Gruppen, wie die Restklassenaddition in der Menge der Restklassen modulo m.

Beispiel

Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe G eine Primzahl, so ist G stets zyklisch.

2. Verallgemeinerung

Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern: Ist M eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe G, so wird mit <M> die Untergruppe von G bezeichnet, deren Elemente sich sämtlich als Produkt von endlich vielen Elementen aus M und deren Inversen schreiben lassen. Die Teilmenge M heißt dann Erzeugendensystem von <M>. Besteht M nur aus einem Element, dann ist <M> zyklisch.

3. Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen

In der Gruppentheorie wird die Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord G bezeichnet. Ist die von einem Element a einer Gruppe erzeugte zyklische Untergruppe <a> endlich, so heißt deren Ordnung auch Ordnung des Elements a, d.h.
Ist U eine Untergruppe einer Gruppe und so heißen die Teilmengen

von G Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von U in Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden jeweils eine Zerlegung von .
Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe U in einer Gruppe G haben die gleiche Anzahl von Elementen, nämlich ord . Daraus ergibt sich, daß die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen ist. Diese Zahl wird Index von U in G genannt. Aus den genannten Fakten ergibt sich der Satz von LAGRANGE (s. nächten Abschnitt).

4. Satz von Lagrange

Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen ist der Satz von LAGRANGE als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich.