Normalteiler

Für Untergruppen U ist im allgemeinen aU verschieden von Ua (es gilt jedoch |aU|=|Ua|). Ist aber a U = U a für alle so heißt U Normalteiler von . Diese speziellen Untergruppen sind die Grundlage für die Bildung von Faktorgruppen.
In ABELschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler.

Beispiel A

bilden Untergruppen von bezüglich der Multiplikation.

Beispiel B

Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe von bezüglich der Addition.

Beispiel C

Untergruppen der Gruppe S₃: Wegen des Satzes von LAGRANGE kann die 6-elementige Gruppe S₃ (außer den trivialen Untergruppen) nur Untergruppen mit 2 oder 3 Elementen haben.
Tatsächlich hat die Gruppe S₃ folgende Untergruppen:
Die nichttrivialen Untergruppen U₁, U₂, U₃ und U₄ sind zyklisch, weil ihre Elementeanzahlen sämtlich Primzahlen sind. Die S₃ ist dagegen nicht zyklisch. Außer den trivialen Normalteilern hat die Gruppe S₃ nur noch die Untergruppe U₄ als Normalteiler.
Übrigens ist jede Untergruppe U einer Gruppe G mit |U|=|G|/2 Normalteiler von G.
Alle symmetrischen Gruppen S_M und ihre Untergruppen werden Permutationsgruppen genannt.

Beispiel D

Spezielle Untergruppen der Gruppe GL(n) aller regulären Matrizen vom Typ (n,n) bezüglich der Matrizenmultiplikation:

SL(n)	Gruppe aller Matrizen A mit der Determinante 1,
O(n)	Gruppe aller orthogonalen Matrizen,
SO(n)	Gruppe aller orthogonalen Matrizen mit der Determinante 1.

Die Gruppe SL(n) ist Normalteiler von GL(n) (s. Homomorphiesatz für Gruppen) und SO(n) Normalteiler von O(n).

Beispiel E

Als Untergruppen der Gruppe aller regulären komplexen Matrizen seien erwähnt:

U(n)	Gruppe aller unitären Matrizen,
SU(n)	Gruppe aller unitären Matrizen mit der Determinante 1.