Casimir-Operator

Der CASIMIR-Operator C ist ein Operator, der mit allen Generatoren und deshalb auch mit allen Elementen der LIE-Algebra kommutiert. Er ist eine quadratische Form in den Generatoren.

Beispiel

Die Generatoren (s. (5.138)) der Gruppe SO(3) bilden eine Basis der reellen LIE-Algebra so(3) der LIE-Gruppe SO(3) mit den Elementen . Wegen besteht die LIE-Algebra so(3) aus allen schiefsymmetrischen 3 x 3-Matrizen, . Zwischen den Generatoren gelten die Vertauschungsrelationen

d.h. die von Null verschiedenen Strukturkonstanten der LIE-Algebra so(3) sind . Der CASIMIR-Operator C von , der mit allen Elementen der LIE-Algebra kommutiert, ist gegeben durch .

Hinweis: Die Elemente der LIE-Algebra können geometrisch als Tangentialvektoren aller Kurven in G durch das neutrale Element e aufgefaßt werden. Sind und die Tangentialvektoren zweier Kurven und dann ist der Kommutator als Tangentialvektor der Kurve definiert.
Mit der Einführung der LIE-Algebra wird die Untersuchung einer globalen LIE-Gruppe auf die Untersuchung ihrer lokalen Struktur in der Umgebung des neutralen Elements zurückgeführt, wobei Methoden der Analysis angewandt werden können.