Berechnung des Dreifachintegrals in beliebigen krummlinigen Koordinaten

Die beliebigen krummlinigen Koordinaten u,v,w sind durch die Beziehungen

definiert. Das Integrationsgebiet wird durch die Koordinatenflächen in infinitesimale Volumenelemente in beliebigen Koordinaten eingeteilt:

wobei D die Funktionaldeterminante ist. Nach Ausdrücken des Integranden in den Koordinaten u, v, w lautet das Integral:

Die Formeln (8.144b) und (8.145b) sind Spezialfälle von (8.147b). Für Zylinderkoordinaten ist , für Kugelkoordinaten ist . Mit Vorteil werden immer solche krummlinigen Koordinaten verwendet, die eine möglichst einfache Berechnung der Integrationsgrenzen des Integrals (8.147b) gestatten.