Näherungsmethoden

Zur Lösung konkreter Aufgaben mit Hilfe partieller Differentialgleichungen werden oft verschiedene Näherungsverfahren eingesetzt. Dabei ist zwischen analytischen und numerischen Methoden zu unterscheiden.

1. Analytische Methoden
Die analytischen Methoden ermöglichen die Bestimmung angenäherter analytischer Ausdrücke für die gesuchte Funktion.
2. Numerische Methoden
Die numerischen Methoden liefern Näherungswerte der gesuchten Funktion für bestimmte Werte der unabhängigen Variablen. Dazu verwendet man folgende Methoden:
a) Methode der finiten Differenzen, kurz Differenzenverfahren:
Die Differentialquotienten werden durch Differenzenquotienten ersetzt, so daß die Differentialgleichung einschließlich Anfangs- und Randbedingungen in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt wird. Eine lineare Differentialgleichung mit linearen Anfangs- und Randbedingungen wird so zu einem System linearer Gleichungen.
b) Methode der finiten Elemente, kurz FEM, für Randwertaufgaben:
Der Randwertaufgabe wird eine Variationsaufgabe zugeordnet. Die gesuchte Lösung wird durch einen Spline-Ansatz approximiert, nachdem das Definitionsgebiet der Randwertaufgabe in regelmäßige Teilgebiete zerlegt worden ist. Die Ansatzkoeffizienten werden durch Lösung einer Extremwertaufgabe bestimmt.
c) Randintegralgleichungsmethode für spezielle Randwertaufgaben:
Die Randwertaufgabe wird als äquivalentes Integralgleichungsproblem über dem Rand des Definitionsgebietes der Randwertaufgabe formuliert. Dazu werden Integralsätze der Vektoranalysis, z.B. GREENsche Formeln, verwendet. Die verbleibenden Randintegrale werden mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln numerisch gelöst.
3. Physikalische Methoden:
Numerische Lösungen von Differentialgleichungen können auch auf experimentellem Wege ermittelt werden. Dabei macht man von der Tatsache Gebrauch, daß recht unterschiedliche physikalische Erscheinungen mit ein und derselben Differentialgleichung beschrieben werden können. Um ein gegebenes Problem auf diesem Wege zu lösen, wird ein technisches Modell konstruiert, mit dessen Hilfe das gegebene Problem simuliert werden kann und an dem im Experiment Messungen vorgenommen werden, deren Werte die gesuchte Funktion darstellen. Da solche Modelle oft bewußt so konstruiert sind, daß die Parameter in weiten Grenzen eingestellt werden können, ist es möglich, auch die Differentialgleichung in weiten Gebieten der unabhängigen Veränderlichen zu untersuchen.