Lösungsansätze

Eine Lösung wird mit dem Ansatz

angestrebt, in dem R_l die nur vom Radius r abhängige radiale Wellenfunktion ist und eine nur von den beiden Winkeln abhängige Wellenfunktion. Einsetzen von (9.143a) in (9.142c) liefert

Division durch R_lY_l^m und Multiplikation mit r² ergibt

Diese Gleichung (9.143c) kann nur erfüllt werden, wenn eine unabhängige Variation der Radiuskoordinate r auf der linken Seite der Gleichung und der Winkelkoordinaten auf der rechten dieselbe Separationskonstante ergeben, d.h., wenn die Seiten unabhängig voneinander sind und den gleichen konstanten Wert ergeben. Aus der partiellen Differentialgleichung ergeben sich dann eine gewöhnliche und eine partielle Differentialgleichung. Wird die Separationskonstante praktischerweise gleich l(l + 1) gesetzt, dann erhält man die nur von r und vom Potential V(r) abhängige sogenannte Radialgleichung:

Der winkelabhängige Anteil wird mit Hilfe des Ansatzes

ebenfalls separiert. Einsetzen von (9.143e) in (9.143c) liefert

Bezeichnet man die Separationskonstante zweckmäßigerweise mit , dann lautet die sogenannte Polargleichung

und die Azimutalgleichung

Beide Gleichungen sind potentialunabhängig, gelten also für jedes zentralsymmetrische Potential.
An die Lösung (9.143a) sind drei Forderungen zu stellen: Sie soll für verschwinden, auf der Kugeloberfläche eindeutig sein und sich quadratisch integrieren lassen.