Riccatische Differentialgleichung

RICCATIsche Differentialgleichung heißt die Gleichung

die im allgemeinen nicht durch Quadraturen gelöst werden kann, d.h. nicht durch endlich viele aufeinander folgende Integrationen. Ist aber eine partikuläre Lösung y₁ der RICCATIschen Differentialgleichung bekannt, dann läßt sich diese durch die Substitution

auf eine lineare Differentialgleichung für z zurückführen. Kennt man noch eine zweite Lösung , so ist

eine partikuläre Lösung der linearen Differentialgleichung für die Funktion , so daß sich ihre Integration vereinfacht. Sollten sogar drei Lösungen und y₃ bekannt sein, dann lautet das allgemeine Integral der RICCATIschen Differentialgleichung

Durch die Substitution

läßt sich die RICCATIsche Differentialgleichung stets in die Normalform

überführen. Mit der Substitution

ergibt sich aus (9.13a) eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung zu lösen. Man setzt , substituiert und erhält für den Koeffizienten der ersten Potenz von z den Ausdruck , der zum Verschwinden gebracht wird, indem man setzt.

Somit ergibt sich .

Man sucht partikuläre Lösungen der Form und findet durch Einsetzen , d.h. zwei partikuläre Lösungen .

Die Substitution liefert .

Durch Einsetzen der partikulären Lösung ergibt sich die allgemeine Lösung

und hiermit
.