Allgemeine Methoden

Die Differentialgleichung

y''+ p(x)y'+q(x)y = F(x) (9.49a)

1. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, d.h. , lautet

   Dabei sind y₁ und y₂ zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen dieser Gleichung. Wenn eine partikuläre Lösung y₁ bekannt ist, dann kann die zweite y₂ mit der aus der Formel (9.35) von LIOUVILLE folgenden Gleichung

   bestimmt werden, wobei A beliebig wählbar ist.

2. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung kann mit Hilfe der Formel

   gewonnen werden, wobei y₁ und y₂ zwei partikuläre Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung sind.

3. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann auch mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten bestimmt werden.

Die Differentialgleichung

s(x)y''+p(x)y'+q(x)y=F(x) (9.50a)

enthalte Funktionen und , die Polynome sind oder Funktionen, die in einem gewissen Gebiet in konvergente Reihen nach Potenzen von (x - x₀) entwickelt werden können, wobei sein muß. Die Lösungen dieser Differentialgleichung können dann ebenfalls nach Potenzen von (x - x₀) in Reihen entwickelt werden, die in demselben Gebiet konvergieren. Ihre Bestimmung erfolgt mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die gesuchte Lösung wird als Reihe der Form

angesetzt und in die Differentialgleichung (9.50a) eingesetzt. Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher Potenzen von (x - x₀) liefert Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten .

Beispiel

Zur Lösung der Differentialgleichung y''+xy=0 wird
und
gesetzt. Man erhält
. Die Lösung dieser Gleichungen liefert
,
so daß sich als Lösung ergibt:
.

Die Differentialgleichung

x²y''+ xp(x)y'+ q(x)y = 0 (9.51a)

kann für den Fall, daß sich die Funktionen p(x) und q(x) in konvergente Reihen von x entwickeln lassen, mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelöst werden. Die Lösungen haben die Form

deren Exponenten r aus der definierenden Gleichung

r(r-1)+p(0)r+q(0)=0 (9.51c)

bestimmt werden. Wenn die Wurzeln dieser Gleichung verschieden sind und ihre Differenz nicht ganzzahlig ist, dann ergeben sich zwei unabhängige Lösungen von (9.51a). Anderenfalls liefert die Methode der unbestimmten Koeffizienten nur eine Lösung. Dann kann mit Hilfe von (9.49b) eine zweite Lösung ermittelt werden oder wenigstens eine Form gesucht werden, aus der eine Lösung mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten gewonnen werden kann.

Beispiel

Für die BESSELsche Differentialgleichung (9.52a) erhält man mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten nur eine Lösung der Form , die bis auf einen konstanten Faktor mit J_n(x) übereinstimmt. Als zweite Lösung findet man wegen mit der Formel (9.49c)

Die Bestimmung der Koeffizienten c_k und d_k aus den a_k gestaltet sich schwierig. Man kann jedoch den letzten Ausdruck benutzen, um die Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu ermitteln. Offensichtlich ist diese Form eine Reihenentwicklung der Funktion Y_n(x) (9.53c).