Fourier-Transformation zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen

FOURIER-Transformationen eignen sich zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen. Aus einer Anfangsbedingung einer Differentialgleichung soll das Feld zu einem späteren Zeitpunkt berechnet werden. Das geschieht in drei Schritten (s. auch Abbildung):

1. FOURIER-Transformation der Anfangsbedingungen
2. Zeitentwicklung der FOURIER-Moden
3. Rücktransformation auf

Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass die FOURIER-Moden einfachen gewöhnlichen Differentialgleichungen gehorchen. Auf diese Weise wird die direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung (Schritt 4 in der Abbildung) umgangen.

Beispiel Eindimensionale Diffusionsgleichung

Für die eindimensionale Diffusionsgleichung erhält man:

1. FOURIER-Transformation
2. Die Bewegungsgleichung der Moden wird gelöst durch
   
3. 

Leider führt die FOURIER-Transformation bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zu keiner Vereinfachung. Die Bewegungsgleichung in Schritt 2 enthält dann nichtlineare Anteile, die die Bewegungsgleichungen für unterschiedliche k miteinander koppeln. Im Allgemeinen wird der nichtlineare Anteil so kompliziert, dass sich die Bewegungsgleichungen für die FOURIER-Moden nicht lösen lassen.