Satz von Hurwitz

Bei verschiedenen Anwendungen, z.B. in der Schwingungslehre, ist es wichtig festzustellen, ob eine beliebige Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für gegen Null strebt. Das ist stets dann der Fall, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen Gleichung negativ sind. Die Gleichung

hat nach dem Satz von HURWITZ genau dann nur Wurzeln mit negativem Realteil, wenn bei durchweg positiven Koeffizienten sämtliche Determinanten

positiv sind. Der Bau der Determinanten D_k läßt sich so beschreiben, daß in der Hauptdiagonale die Koeffizienten stehen und daß in den Zeilen die Koeffizientenindizes von rechts nach links aufsteigende Zahlen durchlaufen. Koeffizienten mit Indizes unterhalb Null und oberhalb n werden durch Nullen ersetzt.

Beispiel

Für ein kubisches Polynom haben die Determinanten gemäß (9.40b) die folgende Gestalt: