Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten können durch Variation der Konstanten, mit der Methode von CAUCHY oder mit Hilfe der Operatorenmethode ermittelt werden. Eine partikuläre Lösung kann sehr schnell gefunden werden, wenn die rechte Seite von (9.12) eine spezielle Form hat.

1. Fall

Eine partikuläre Lösung ist

Wenn eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, d.h. wenn gilt

dann ist eine partikuläre Lösung. Diese Formeln können durch Anwendung des Zerlegungssatzes auch verwendet werden, wenn

ist. Die zugehörigen partikulären Lösungen ergeben sich als Real- bzw. Imaginärteil der Lösung derselben Differentialgleichung für

auf der rechten Seite.

Beispiel A

Für die Differentialgleichung y''-6y'+8y=e^2x ergeben sich die Polynome P(D) =D²-6D+8 mit P(2) =0 und P'(D) =2D-6 mit , so daß eine partikuläre Lösung lautet .

Beispiel B

Die Differentialgleichung führt auf die Gleichung . Aus ihrer Lösung erhält man eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Dabei ist y₁ der Imaginärteil von .

2. Fall

, Q_n(x) ist ein Polynom n-ten Grades:

Eine partikuläre Lösung kann immer in der gleichen Form gefunden werden, d.h. als Ausdruck . R(x) ist ein mit x^m multipliziertes Polynom n-ten Grades, wenn eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Geht man von einem Lösungsansatz mit unbestimmten Koeffizienten des Polynoms R(x) aus und fordert man, daß er der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung genügt, dann können die unbekannten Koeffizienten aus einem Satz linearer algebraischer Gleichungen bestimmt werden. Die Methode ist besonders in den Fällen F(x)=Q_n(x) für und oder für anwendbar. Hier wird eine Lösung der Form gesucht.

Beispiel

Die Wurzeln der zur Differentialgleichung gehörenden charakteristischen Gleichung sind . Da der Superpositionssatz gilt, können die partiellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für die einzelnen Summanden der rechten Seite der Reihe nach gesucht werden. Für den ersten Summanden liefert das Einsetzen des Ansatzes y₁=x²(ax+b) in die rechte Seite , woraus folgt: a = 1 und b = -6. Für den zweiten Summanden liefert das gleiche Vorgehen . Die Koeffizientenbestimmung ergibt , also . Die allgemeine Lösung lautet folglich .

Eulersche Differentialgleichung:

Die EULERsche Differentialgleichung

kann mit Hilfe der Substitution

cx+d=e^t (9.44b)

auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zurückgeführt werden.

Beispiel

Die Differentialgleichung x²y''-5xy'+8y=x² ist ein Spezialfall der EULERschen Differentialgleichung für . Sie kann mit Hilfe der Substitution x = e^t in die in einem vorangegangen Beispiel untersuchte lineare Differentialgleichung übergeführt werden. Die allgemeine Lösung ergibt sich zu .