Normalform

Normalform nennt man den folgenden einfachen Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung eines derartigen Systems erfordert zuerst die Lösung der charakteristischen Gleichung

Zu jeder einfachen Wurzel r_i dieser Gleichung gehört ein System partikulärer Lösungen

deren Koeffizienten aus dem System homogener linearer Gleichungen

zu bestimmen sind.
Da auf diese Weise gemäß Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem nur die Verhältnisse A_k bestimmt werden können, ist in dem so gewonnenen System partikulärer Lösungen für jedes r_i eine willkürliche Konstante enthalten. Wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden sind, enthält die Summe aller dieser partikulären Lösungen n voneinander unabhängige willkürliche Konstanten, so daß sich damit die allgemeine Lösung des Systems ergibt. Wenn irgendein r_i eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann entspricht dieser Wurzel ein System partikulärer Lösungen der Form

in dem die Polynome sind, die maximal den Grad m - 1 haben können. Diese Ausdrücke werden mit unbestimmten Koeffizienten in das System von Differentialgleichungen eingesetzt. Danach erfolgt eine Division durch , und die Koeffizienten gleicher Potenzen von x auf der linken und der rechten Seite werden gleichgesetzt. Dadurch entstehen lineare Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten, von denen m frei wählbar sind. Die anderen Koeffizienten lassen sich durch diese ausdrücken. Auf diese Weise entsteht ein Lösungsanteil mit m beliebigen Konstanten. Der Grad der Polynome kann kleiner als m - 1 sein. Wenn speziell das System (9.45a) symmetrisch ist, d.h. wenn a_ik=a_ki gilt, dann reicht es aus, die zu setzen. Für komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung können die betreffenden Glieder der allgemeinen Lösung genau so auf eine reelle Form gebracht werden, wie es für den Fall einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gezeigt worden ist.

Beispiel

Für das System lautet die charakteristische Gleichung

Für die einfache Wurzel r₁ = 6 erhält man .
Daraus folgt . Für die mehrfache Wurzel r₂ = 1 erhält man . Einsetzen in die Gleichungen liefert

woraus folgt .
Die allgemeine Lösung lautet somit:
.