Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzen die allgemeine Form

Wenn die Determinante nicht verschwindet, d.h.

dann läßt sich das System (9.46a) auf die Normalform (9.45a) bringen.
Der Fall bedarf zusätzlicher Betrachtungen (s. [9.26]).
Die Lösung kann auch von der allgemeinen Form aus und nach der gleichen Methode ermittelt werden, die bei der Normalform zur Anwendung kommt. Die charakteristische Gleichung hat dann die Form

Die Koeffizienten A_i in der Lösung (9.45c), die der einfachen Wurzel r_j entsprechen, werden in diesem Falle aus dem Gleichungssystem

bestimmt. Ansonsten entspricht die Lösungsmethode derselben, die im Falle der Normalform angewendet wurde.

Beispiel

Die charakteristische Gleichung des Systems der zwei Differentialgleichungen lautet

Die Koeffizienten A₁ und A₂ für r₁ = 1 erhält man aus bzw. . Für r₂ = -2 ergibt sich analog . Die allgemeine Lösung lautet somit .