Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung

Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung haben die allgemeine Form

1. Superpositionssatz:

Wenn y_j⁽¹⁾ und Lösungen inhomogener Systeme sind, die sich nur durch ihre rechten Seiten F_i⁽¹⁾ bzw. F_i⁽²⁾ unterscheiden, dann ist auch eine Lösung dieses Systems, wobei aber für die rechten Seiten F_i(x)=F_i⁽¹⁾(x)+F_i⁽²⁾(x) gilt. Somit reicht es zur Gewinnung der allgemeinen Lösung des inhomogenen Systems aus, zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems zu addieren.

2. Variation der Konstanten:

Die Variation der Konstanten kann z.B. benutzt werden, um eine partikuläre Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems zu ermitteln. Dazu wird die allgemeine Lösung des homogenen Systems in das inhomogene System eingesetzt. Die Konstanten werden zu den unbekannten Funktionen . In den Ausdrücken für die Ableitungen y_k' treten neue Glieder mit Ableitungen der neuen unbekannten Funktionen C_k(x) auf. Beim Einsetzen in das gegebene System bleiben auf der linken Seite nur diese zusätzlichen Glieder übrig, weil sich die anderen gegenseitig kompensieren, denn die sind voraussetzungsgemäß eine Lösung des homogenen Systems. Man erhält also für die C_k'(x) ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen, das es zu lösen gilt. Nach n Integrationen findet man die Funktionen . Einsetzen in die Lösung des homogenen Systems anstelle der Konstanten liefert die gesuchte partikuläre Lösung des inhomogenen Systems.

Beispiel

Für das System aus zwei inhomogenen Differentialgleichungen lautet die allgemeine Lösung des homogenen Systems . Einsetzen in die gegebenen Gleichungen und Auffassen von C₁ und C₂ als Funktionen von x ergibt , C₁'e^x+C₂'e^-2x=5e^-x oder , . Daraus folgt . Da eine partikuläre Lösung gesucht ist, werden alle Konstanten gleich Null gesetzt, was auf führt. Die allgemeine Lösung lautet somit .

3. Methode der unbestimmten Koeffizienten:

Die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist besonders dann mit Vorteil einsetzbar, wenn die rechten Seiten aus speziellen Funktionen der Form bestehen. Die Anwendung erfolgt in Analogie zu dem beschriebenen Vorgehen für eine inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit spezieller Form der rechten Seite.