Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Wenn die Koeffizienten a_ik in (9.92) konstant sind, dann ist durch eine lineare homogene Transformation der unabhängigen Variablen eine Transformation auf die einfachere Normalform

möglich, in der sämtliche Koeffizienten gleich oder 0 sind. Man kann mehrere charakteristische Fälle unterscheiden:

1. Elliptische Differentialgleichung

Alle Koeffizienten sind von Null verschieden und haben dasselbe Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine elliptische Differentialgleichung.

2. Hyperbolische und ultrahyperbolische Differentialgleichung

Alle Koeffizienten sind von Null verschieden, aber einer hat ein zu allen übrigen entgegengesetztes Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine hyperbolische Differentialgleichung. Treten darüber hinaus von jeder Vorzeichenart wenigstens zwei auf, dann ist es eine ultrahyperbolische Differentialgleichung.

3. Parabolische Differentialgleichung

Einer der Koeffizienten verschwindet, die übrigen sind verschieden von Null und haben gleiches Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine parabolische Differentialgleichung.

4. Einfach zu lösender Fall

Ein relativ einfach zu lösender Fall liegt vor, wenn nicht nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen der unbekannten Funktion konstant sind, sondern auch die der ersten Ableitungen. Man kann dann die Glieder mit den ersten Ableitungen durch eine Variablensubstitution eliminieren, für die ist. Dazu setzt man

wobei b_k der Koeffizient von in (9.93) ist und die Summation über alle zu erfolgen hat.

Auf diese Weise können alle elliptischen und hyperbolischen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf eine einfache Form gebracht werden:

a) Elliptischer Fall

b) Hyperbolischer Fall

Mit wird der LAPLACEsche Operator

bezeichnet.