Kettenbrüche

Kettenbrüche sind ineinandergeschachtelte Brüche, mit deren Hilfe reelle Zahlen, also rationale und irrationale Zahlen dargestellt werden können und besser approximiert werden können, als es die Dezimalzahldarstellung erlaubt (s. Beispiele Dezimalzahldarstellung der Zahl und Formel des Goldenen Schnittes).

Rationale Zahlen

Kettenbrüche rationaler Zahlen sind endlich. Für positive rationale Zahlen haben sie die Form

Abkürzend schreibt man .
Die Zahlen können mit Hilfe des EUKLIDischen Algorithmus wie folgt ermittelt werden:

= (1.6a)

= (1.6b)

= (1.6c)

= (1.6d)

= (1.6e)

Die Zahlen p,q sowie sind positive natürliche Zahlen.

Beispiel

Irrationale Zahlen

Kettenbrüche irrationaler Zahlen brechen nicht ab. Sie heißen daher unendliche Kettenbrüche, und man schreibt .

Beispiel

Wie , so gilt auch . Man erhält d.h. für gilt die Kettenbruchentwicklung

Wenn sich in einem unendlichen Kettenbruch einige der Zahlen a_k periodisch wiederholen, dann spricht man von einem periodischen Kettenbruch. Es gilt: Jeder periodische Kettenbruch stellt eine quadratische Irrationalität dar, und umgekehrt besitzt jede quadratische Irrationalität eine periodische Kettenbruchdarstellung.

Beispiel

Die Zahl ist eine quadratische Irrationalität und hat die periodische Kettenbruchdarstellung .

Aproximation reeller Zahlen

Ist eine beliebige reelle Zahl, dann stellt jeder endliche Kettenbruch

eine Approximation von dar. Der Kettenbruch wird auch als k-ter Näherungsbruch von bezeichnet. Er läßt sich rekursiv wie folgt berechnen:

Nach dem Approximationssatz von LIOUVILLE gilt folgende Fehlerabschätzung:

Darüber hinaus kann man zeigen, daß die Näherungsbrüche die reelle Zahl mit wachsender Genauigkeit von unten und von oben abwechselnd approximieren. Die Näherungsbrüche konvergieren besonders schnell gegen , wenn die Zahlen in (1.7) große Werte aufweisen. Demzufolge liegt die schlechteste Konvergenz bei Zahlen der Form vor.

Beispiel Dezimalzahldarstellung der Zahl Pi

Aus der Dezimalzahldarstellung von erhält man gemäß (1.6e) die Kettenbruchdarstellung . Die zugehörigen Näherungsbrüche (1.8) mit den Abschätzungen gemäß (1.9) lauten: mit , mit , mit . Die tatsächlichen Fehler sind wesentlich kleiner. Sie liegen bei unter , bei unter und bei unter . Die Näherungsbrüche und stellen eine wesentlich bessere Näherung für dar als in Dezimalzahldarstellung mit entsprechender Stellenzahl.

Beispiel Formel des Goldenen Schnittes

Für die Formel des Goldenen Schnittes x/a=(a-x)/x kann man die folgenden beiden Kettenbruchdarstellungen angeben: und . Der Näherungsbruch bringt im ersten Fall eine Genauigkeit von , im zweiten Fall .